Vecteurs égaux

Définition

Soit \(\text A\) et \(\text B\) deux points du plan.
On considère la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\) .
Soit \(\text D\) l'image d'un point \(\text C\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\) .
Alors les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{CD}}\) définissent la même translation.
On dit que les vecteurs\(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{CD}}\) sont égaux et on écrit : \(\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{CD}}\).

Exemple 1

Soit \(\text A\) et \(\text B\) deux points du plan. On considère la translation de vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\) .
On considère une figure \(\text F_1\). On trace en rouge la figure \(\text F_2\) qui est l'image de la figure \(\text F_1\) par cette translation.

Le point \(\color{blue}{\text C}\) a pour image le point \(\color{red}{\text D}\) par cette translation.
Le point \(\color{blue}{\text E}\) a pour image le point \(\color{red}{\text F}\) par cette translation.
Le point \(\color{blue}{\text G}\) a pour image le point \(\color{red}{\text H}\) par cette translation.
Le point \(\color{blue}{\text I}\) a pour image le point \(\color{red}{\text J}\) par cette translation.
Le point \(\color{blue}{\text K}\) a pour image le point \(\color{red}{\text L}\) par cette translation.
On a donc : \(\color{green}{\overrightarrow{\text{AB}}} = \color{green}{\overrightarrow{\text{CD}}} = \color{green}{\overrightarrow{\text{EF}}} = \color{green}{\overrightarrow{\text{GH}}} = \color{green}{\overrightarrow{\text{IJ}}} = \color{green}{\overrightarrow{\text{KL}}}\).

Propriété

Soit \(\text A\), \(\text B\), \(\text C\) et \(\text D\) quatre points distincts du plan.
Les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{CD}}\) sont égaux si et seulement s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme.

Exemple 2

On considère un rectangle \(\text{ABCD}\) de centre \(\text M\) représenté ci-dessous.
On note \(\text K\) le milieu du segment \([\text{AD}]\).

• Les vecteurs \(\color{red}{\overrightarrow{\text{AB}}}\) et \(\color{orange}{\overrightarrow{\text{CD}}}\) ont la même direction et la même norme. Ils n'ont pas le même sens. Ils ne sont donc pas égaux.
  
• Les vecteurs \(\color{green}{\overrightarrow{\text{AD}}}\) et \(\color{green}{\overrightarrow{\text{BC}}}\) ont la même direction, le même sens et la même norme. Ils sont donc égaux.